Nesse Dia Ou Neste Dia
Neste dia ou naquele momento, a gente sempre se depara com a dúvida entre usar nesse dia ou neste dia ao escrever algo.
Entendendo a diferença entre "nesse" e "neste"
A confusão entre nesse dia e neste dia é extremamente comum, e ela acontece justamente porque as duas formas existem na língua portuguesa e são usadas em contextos gramaticais distintos.
Antes de mais nada, é preciso entender que a escolha entre uma e outra depende exclusivamente da função gramatical que a palavra exerce na frase, mais especificamente se ela está agindo como artigo ou como pronome demonstrativo.
Portanto, quando você está indeciso entre nesse dia ou neste dia, o segredo está em analisar se a palavra está substituindo um nome ou simplesmente acompanhando-o.

Quando usar "neste dia": a forma artigo
A forma neste dia surge da contração do artigo definido masculino singular "o" com a preposição "em", resultando em "neste".
Dessa forma, neste dia funciona como um nome específico, sendo acompanhado por um substantivo que já foi previamente mencionado ou que está implícito no contexto.
Veja o exemplo: "Hoje, neste dia 15 de março, completamos exatamente um ano de projeto." Aqui, "neste" está ligado ao substantivo subentendido "dia" e indica um período exatamente determinado, funcionando como um localizador temporal preciso.
Quando usar "nesse dia": a forma pronome
Do outro lado, temos nesse dia, que nasce da fusão do pronome demonstrativo "esse" com a preposição "em".

Nesse caso, a palavra nesse substitui o nome, indicando uma referência mais abstrata ou um momento que pode não ser imediatamente tangível, mas que está sendo mencionado.
Um cenário comum é quando falamos de uma ocasião que já foi estabelecida anteriormente na conversa, como em: "Falando nesse dia em que nos conhecemos, foi realmente um destino." Aqui, "nesse" age como um substituto de "neste dia" ou "nessa ocasião", dando maior fluidez à frase sem repetir o sustantivo.
Regras de concordância e flexão
Tanto neste quanto nesse são flexíveis e devem concordar em gênero e número com o substantivo que substituem ou acompanham.
- Neste (artigo): neste livro (m.sg), nesta casa (f.sg), neste livro (m.pl), nestas casas (f.pl).
- Nesse (pronome): nesse homem (m.sg), nessa mulher (f.sg), nesses homens (m.pl), nessas mulheres (f.pl).
Para o caso específico de nesse dia ou neste dia, como o substantivo subentendido é "dia" (masculino singular), a concordância se mantém igual, mas a regra de uso muda conforme o contexto, como já foi explicado.

Aplicações práticas e erros comuns
Um erro frequente é usar nesse dia no lugar de neste dia quando se deseja ser mais formal ou específico, como em documentos oficiais ou narrativas cronológicas.
Por exemplo, em uma ata de reunião, é mais adequado escrever "discutido neste dia 10 de maio", pois fixa a data com clareza.
Por outro lado, frases mais conversacionais ou filosóficas se beneficiam do uso de nesse dia, pois trazem um tom de reflexão e proximidade, como em "vivemos nesse dia marcado por grandes mudanças".
Dicas para fixação definitiva
Para nunca mais hesitar entre nesse dia ou neste dia, siga esta dica simples: se pode substituir por "hoje" ou "agora" sem perder o sentido, use nesse.

Se a frase ficar mais clara ao substituir por "no" ou "naquele", mantenha neste.
Exemplo prático: "Aconteceu tudo nesse dia." = "Aconteceu tudo hoje." Já "Em neste dia fomos felizes" = "Em no dia fomos felizes."
Conclusão
Portanto, a resposta para a pergunta nesse dia ou neste dia não é uma, mas sim tantas quantas as possibilidades gramaticais da língua.
Compreender que um é artigo e o outro é pronome é a chave para dominar esse pequeno grande detalhe da gramática, permitindo que você escolha a expressão certa para cada situação, seja ela uma data concreta ou um momento abstrato que merece ser revivido com as palavras adequadas.

NESSE OU NESTE
São palavras que existem na língua portuguesa e estão corretas. São contrações da preposição "Em, com os pronomes ...